Chapter Review 3 - 知识点总结

3.1 指数函数 (Exponential Functions)

定义

形如 \(f(x) = a^x\) 的函数称为指数函数，其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)。

指数函数：\(f(x) = a^x\)（\(a > 0, a \neq 1\)）

基本性质

定义域：\((-\infty, +\infty)\)
值域：\((0, +\infty)\)
过点：\((0, 1)\)
单调性：当 \(a > 1\) 时递增，当 \(0 < a < 1\) 时递减
渐近线：\(x\) 轴（\(y = 0\)）
连续性：在定义域内连续

关键要点

所有指数函数都过点 \((0, 1)\)
底数大于1时函数递增，底数在0和1之间时函数递减
\(x\) 轴是水平渐近线
函数值始终为正数

3.2 对数函数 (Logarithms)

定义

如果 \(a^x = n\)（\(a > 0, a \neq 1, n > 0\)），那么 \(x = \log_a n\)。

对数与指数的关系：\(a^x = n \Leftrightarrow \log_a n = x\)

基本性质

\(\log_a a = 1\)（\(a > 0, a \neq 1\)）
\(\log_a 1 = 0\)（\(a > 0, a \neq 1\)）
\(\log_a a^k = k\)（\(a > 0, a \neq 1\)）
\(\log_a \frac{1}{x} = -\log_a x\)

注意事项

对数的真数必须大于0
对数的底数必须大于0且不等于1
常用对数：\(\log_{10} x = \lg x\)
自然对数：\(\log_e x = \ln x\)

3.3 对数运算法则 (Laws of Logarithms)

乘法法则：\(\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\)

除法法则：\(\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\)

幂法则：\(\log_a (x^k) = k\log_a x\)

特殊情形

\(\log_a \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_a x\)
\(\log_a \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_a x\)
\(\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}\log_a x\)

应用技巧

使用运算法则时要确保底数相同
幂法则可以"把指数提到前面"
分解复杂表达式时要注意运算顺序
注意真数的取值范围

3.4 用对数解方程 (Solving Equations Using Logarithms)

基本方法

对于形如 \(a^x = b\) 的方程：\(x = \log_a b\)

解方程步骤

将方程化为 \(a^x = b\) 的形式
两边取对数：\(x = \log_a b\)
使用计算器计算 \(\log_a b\) 的值
检验解的合理性

两边取对数：如果 \(f(x) = g(x)\)，则 \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\)

注意事项

真数必须大于0
底数必须大于0且不等于1
要检验解的合理性
对于复杂方程，考虑换元法

3.5 换底公式 (Changing the Base of a Logarithm)

换底公式：\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)

特殊情形：\(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)

应用场景

将任意底数的对数转换为常用对数
计算器不支持的对数底数
解复杂对数方程
化简对数表达式

关键要点

换底公式可以将任意底数的对数转换为常用对数
在解复杂对数方程时，换底公式非常有用
记住 \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\) 这个特殊关系
注意底数和真数的取值范围

📋 核心公式总结

指数与对数关系：\(a^x = n \Leftrightarrow \log_a n = x\)

对数运算法则：

\(\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\)

\(\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\)

\(\log_a (x^k) = k\log_a x\)

换底公式：\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)

特殊值：

\(\log_a a = 1\)，\(\log_a 1 = 0\)，\(\log_a a^k = k\)

🔧 解题方法总结

指数方程求解

简单指数方程：\(a^x = b \Rightarrow x = \log_a b\)
复杂指数方程：换元法，设 \(y = a^x\)
不同底数方程：两边取对数

对数方程求解

利用对数运算法则化简
换底公式统一底数
注意真数的取值范围
检验解的合理性

图像分析

指数函数：过点 \((0,1)\)，\(x\) 轴为渐近线
对数函数：过点 \((1,0)\)，\(y\) 轴为渐近线
单调性：底数大于1时递增，底数在0和1之间时递减